1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/9+n²/8=1,
设m=3sint，n=2√2cost，t∈[0,π/2],
2、代入周长表达式知：
C=4(3sint+2√2cost)
=4*√17 [(3/√17)sint+(2√2/√17)cost]
=4*√17sin(t+φ),其中tanφ=√8/9.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√17.
3、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/9+n²/8=1,
8(C/4-n)²+9n²=72,
16*17n²-64Cn+8C²+16*9*n²-16*72=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(64C)²-4*16*17(8C²-16*72)≥0，即：
C²≤16*17,可知Cmax=4*√17.
4、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/9+n²/8-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/9,Fy=4-2nλ/8,
Fλ= m²/9+n²/8-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/9=n/8,
代入m²/9+n²/8-1=0，则：
m=9/√17，n=8/√17;则
周长Cmax
=4*(9/√17+8/√17)
=4*√17。
