1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/14+n²/13=1,
设m=√14sint，n=√13cost，t∈[0,π/2],
2、代入周长表达式知：
C=4(√14sint+√13cost)
=4*3√3 [(√14/3√3)sint+(√13/3√3)cost]
=4*3√3sin(t+φ),其中tanφ=√13/14.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*3√3.
3、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/14+n²/13=1,
13(C/4-n)²+14n²=182,
16*27n²-104Cn+13C²+16*14*n²-16*182=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(104C)²-4*16*27(13C²-16*182)≥0，即：
C²≤16*27,可知Cmax=4*3√3.
4、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/14+n²/13-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/14,Fy=4-2nλ/13,
Fλ= m²/14+n²/13-1。
5、令Fx=Fy=Fλ=0，则m/14=n/13,
代入m²/14+n²/13-1=0，则：
m=14/3√3，n=13/3√3;则
周长Cmax
=4*(14/3√3+13/3√3)
=4*3√3。