1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/13+n²/12=1,
设m=√13sint，n=2√3cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式知：
C=4(√13sint+2√3cost)
=4*5 [(√13/5)sint+(2√3/5)cost]
=4*5sin(t+φ),其中tanφ=√12/13.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*5.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/13+n²/12=1,
12(C/4-n)²+13n²=156,
16*25n²-96Cn+12C²+16*13*n²-16*156=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(96C)²-4*16*25(12C²-16*156)≥0，即：
C²≤16*25,可知Cmax=4*5.
3、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/13+n²/12-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/13,Fy=4-2nλ/12,
Fλ= m²/13+n²/12-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/13=n/12,
代入m²/13+n²/12-1=0，则：
m=13/5，n=12/5;则
周长Cmax
=4*(13/5+12/5)
=4*5。
