1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/3+n²/2=1,
设m=√3sint，n=√2cost，t∈[0,π/2],
2、代入周长表达式知：
C=4(√3sint+√2cost)
=4*√5 [(√3/√5)sint+(√2/√5)cost]
=4*√5sin(t+φ),其中tanφ=√2/3.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√5.
3、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/3+n²/2=1,
2(C/4-n)²+3n²=6,
16*5n²-16Cn+2C²+16*3*n²-16*6=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(16C)²-4*16*5(2C²-16*6)≥0，即：
C²≤16*5,可知Cmax=4*√5.
4、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/3+n²/2-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/3,Fy=4-2nλ/2,
Fλ= m²/3+n²/2-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/3=n/2,
代入m²/3+n²/2-1=0，则：
m=3/√5，n=2/√5;则
周长Cmax
=4*(3/√5+2/√5)
=4*√5。
