1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为祝哨A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/11+n²/10=1,
设m=√11sint，n=√10cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式知：
C=4(√11sint+√10cost)
=4*√21 [(√11/√21)sint+(√10/√21)cost]
=4*√21sin(t+φ),其中tanφ=√10/11.
可知当sin(t+φ)=1时，周长慎联鬼有最大值，即：
Cmax=4*√21.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/11+n²/10=1,
10(C/4-n)²+11n²=110,
16*21n²-80Cn+10C²+16*11*n²-16*110=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(80C)²-4*16*21(10C²-16*110)≥0，即：
C²≤16*21,可知Cmax=4*√21.
3、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/11+n²/10-1),
分别求F对离爱m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/11,Fy=4-2nλ/10,
Fλ= m²/11+n²/10-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/11=n/10,
代入m²/11+n²/10-1=0，则：
m=11/√21，n=10/√21;则
周长Cmax
=4*(11/√21+10/√21)
=4*√21。
