1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/5+n²/4=1,
设m=√5sint，n=2cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式知：
C=4(√5sint+2cost)
=4*3 [(√5/3)sint+(2/3)cost]
=4*3sin(t+φ),其中tanφ=√4/5.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*3.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/5+n²/4=1,
4(C/4-n)²+5n²=20,
16*9n²-32Cn+4C²+16*5*n²-16*20=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(32C)²-4*16*9(4C²-16*20)≥0，即：
C²≤16*9,可知Cmax=4*3.
3、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/5+n²/4-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/5,Fy=4-2nλ/4,
Fλ= m²/5+n²/4-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/5=n/4,
代入m²/5+n²/4-1=0，则：
m=5/3，n=4/3;则
周长Cmax
=4*(5/3+4/3)
=4*3。