1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/7+n²/6=1,
设m=√7sint，n=√6cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式知：
C=4(√7sint+√6cost)
=4*√13 [(√7/√13)sint+(√6/√13)cost]
=4*√13sin(t+φ),其中tanφ=√6/7.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√13.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/7+n²/6=1,
6(C/4-n)²+7n²=42,
16*13n²-48Cn+6C²+16*7*n²-16*42=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(48C)²-4*16*13(6C²-16*42)≥0，即：
C²≤16*13,可知Cmax=4*√13.
3、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/7+n²/6-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/7,Fy=4-2nλ/6,
Fλ= m²/7+n²/6-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/7=n/6,
代入m²/7+n²/6-1=0，则：
m=7/√13，n=6/√13;则
周长Cmax
=4*(7/√13+6/√13)
=4*√13。
