1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/16+n²/15=1,
设m=4sint，n=√15cost，t∈[0,π/2],
2、代入周长表达式知：
C=4(4sint+√15cost)
=4*√31 [(4/√31)sint+(√15/√31)cost]
=4*√31sin(t+φ),其中tanφ=√15/16.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√31.
3、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/16+n²/15=1,
15(C/4-n)²+16n²=240,
16*31n²-120Cn+15C²+16*16*n²-16*240=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(120C)²-4*16*31(15C²-16*240)≥0，即：
C²≤16*31,可知Cmax=4*√31.
4、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/16+n²/15-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/16,Fy=4-2nλ/15,
Fλ= m²/16+n²/15-1。
5、令Fx=Fy=Fλ=0，则m/16=n/15,
代入m²/16+n²/15-1=0，则：
m=16/√31，n=15/√31;则
周长Cmax
=4*(16/√31+15/√31)
=4*√31。
