1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/2+n²=1,
设m=√2sint，n=cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式得：
C=4(√2sint+cost)
=4*√3 [(√2/√3)sint+(1/√3)cost]
=4*√3sin(t+φ),其中tanφ=√1/2.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√3.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程得：
(C/4-n)²/2+n²=1,
(C/4-n)²+2n²=2,
16*3n²-8Cn+C²+16*2*n²-16*2=0,
看成为n的二次方程，由判别式得：
(8C)²-4*16*3(C²-16*2)≥0，即：
C²≤16*3,可得Cmax=4*√3.
3、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程得：
(C/4-n)²/2+n²=1,
(C/4-n)²+2n²=2,
16*3n²-8Cn+C²+16*2*n²-16*2=0,
看成为n的二次方程，由判别式得：
(8C)²-4*16*3(C²-16*2)≥0，即：
C²≤16*3,可得Cmax=4*√3.
4、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/2+n²/1-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/2,Fy=4-2nλ,
Fλ= m²/2+n²-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/2=n,
代入m²/2+n²-1=0，则：
m=2/√3，n=1/√3;则
周长Cmax
=4*(2/√3+1/√3)
=4*√3。
