1、方法一：三角换元法
设矩形与椭圆在第一象限的交点为A(m,n),则：
则矩形的周长C=4(m+n),又因为点A在椭圆上，有：
m²/6+n²/5=1,
设m=√6sint，n=√5cost，t∈[0,π/2],
代入周长表达式知：
C=4(√6sint+√5cost)
=4*√11 [(√6/√11)sint+(√5/√11)cost]
=4*√11sin(t+φ),其中tanφ=√5/6.
可知当sin(t+φ)=1时，周长有最大值，即：
Cmax=4*√11.
2、方法二：判别式法
∵C=4(m+n)，
∴m=C/4-n,代入椭圆方程知：
(C/4-n)²/6+n²/5=1,
5(C/4-n)²+6n²=30,
16*11n²-40Cn+5C²+16*6*n²-16*30=0,
看成为n的二次方程，由判别式知：
(40C)²-4*16*11(5C²-16*30)≥0，即：
C²≤16*11,可知Cmax=4*√11.
3、方法三：多元函数法
设F(m,n)=4(m+n)- λ(m²/6+n²/5-1),
分别求F对m，n，λ的偏导数为：
Fx=4-2mλ/6,Fy=4-2nλ/5,
Fλ= m²/6+n²/5-1。
令Fx=Fy=Fλ=0，则m/6=n/5,
代入m²/6+n²/5-1=0，则：
m=6/√11，n=5/√11;则
周长Cmax
=4*(6/√11+5/√11)
=4*√11。