几种方法求解y=√6-x^2在[0,√6]上的最值

1、方法1：复合函数单调性质求解

∵y=√6-x^2函数由幂函数y=√u，u=6-x^2复合而成，

且在x≥0时，y=√u为增函数，u=-x^2+6为减函数。

∴函数y=√6-x^2在区间[0,√6]上为减函数。

所以：

ymax=f(0)=√(6-0)=√6，

ymin=f(√6)=0.

2、方法2.三角换元法

设x=√6*sint，t∈[0,π/2]，则：

y=√6-x^2

=√[6-(√6*sint)^2]

=√6*√(1-sin^2t)

=√6*cost.

根据cost在[0,π/2]上的取值，可知：

ymax=f(0)=√6*cos0=√6,

ymin=f(π/2)=√6*cosπ/2=0。

3、方法3.数形结合法

∵y=√6-x^2≥0

∴y^2=6-x^2

即：y^2+x^2=6.

又因为y^2的系数=1，x^2的系数=1，则可以把上述方程看成圆在x轴上方的部分。

此时ymin=0,y的最大值为曲线在y轴上的截距。

即：ymax=f(x=0)=√6。

4、方法4.导数法

∵y=√6-x^2

∴y＇=-x/√6-x^2。

又因为x∈[0,√6]，即x≥0.

所以-x≤0，则y＇≤0.

故函数y在定义域上为减函数。

ymax=f(0)=√(6-0)=√6，

ymin=f(√6)=0。