1、全微分求一阶导数
∵x²+y²+z²=8,
∴2xdx+2ydy+2zdz=0，即：
zdz=-xdx-ydy,
dz=-xdx/z-ydy/z，所以：
dz/dx=-x/z，dz/dy=-y/z。
2、直接求导法：
x²+y²+z²=8,
对隐函数方程两边同时对x求导，得：
2x+0+2zdz/dx=0
zdz/dx=-x，即：dz/dx=-x/z.
再对方程两边同时对y求导，得：
0+2y+2zdz/dy=0
zdz/dy=-y，即：dz/dy=-y/z.
3、构造函数求导：
F(x,y,z)=x²+y²+z²-8，则：
Fz=2z，Fx=2x，Fy=2y,
则：
dz/dx=-Fx/Fz=-2x/2z=-x/z;
dz/dy=-Fy/Fz=-2y/2z=-y/z.
1、二阶偏导数求法：
(1)求二阶偏导数∂²z/∂²x:
∵dz/dx=-x/z，
∴∂²z/∂²x
=-(z+xdz/dx)/z²
=-(z+x²/z)/z²
=-(z²+x²)/z³.
2、(2)求二阶偏导数∂²z/∂²y:
∵dz/dy=-y/z.
∴∂²z/∂²y
=-(z+ydz/dy)/z²
=-(z+y²/z)/z²
=-(z²+y²)/z³.
3、(3)求二阶偏导数∂²z/∂x∂y:
∵dz/dx=-x/z，dz/dy=-y/z.
∴∂²z/∂x∂y
=(xdz/dy)/z²
=(-xy/z)/z²
=-xy/z³.