1、先来构造这种矩阵的定义：f[n_] := Module[{A}, A = Table[0, n, n]; (A[[#, # + 1]] = 1) & /@ Range[n - 1]; (A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1]; A]
2、我们来看看这种类型的6乘以6的矩阵的模样。MatrixForm[f[6]]
3、再定义矩阵对应的特征多项式，g[n]。g[n_] := Module[{A}, A = Ta水瑞侮瑜ble[0荑樊综鲶, n, n]; (A[[#, # + 1]] = 1) & /@ Range[n - 1]; (A[[# + 1, #]] = 1) & /@ Range[n - 1]; Expand[Det[A - x*IdentityMatrix[n]]]]
4、查看当n不超过10，所有的这种类型矩阵的特征多项式：Column[g[#] & /@ Range[10]]
5、但是，这种无止境的枚举法，于此题没有什么益处。我们很难通过这一串式子，观察出多项式的规律。不过，这些多项式之间存在一罩脾青槊种递归规律：Reduce[ForAll[x,(g[#]-(-x*g[#-1]+m*g[#-2])//Factor)&@9==0],m]实际上，把9改为任何大于2的正整数，都有m=-1。
6、有了递归公式，初始条件也很容易计算，这样就可以算出通项公式：RSolve[{a[n + 2] == -x*a[n + 1] - 1 a[n], a[1] == -x, a[2] == x^2 - 1}, a[n], n] // Flatten // Values这正是这种n*n类型矩阵的特征多项式。
