变上限积分中积分变量端点值可以取到。
设f（x）在［a，b］连续，若t满足f（a）≤t≤f（b），则存在c∈［锾攒揉敫a，b］，使f（c）=t。
开区间版本的积分第一中值定理也是成立的（建议自己试着证明一下）。但这与闭区间版本的积分第一中值定理并不矛盾，因为c∈（a，b）可以推出c∈［a，b］，所以这只是一种加强。
中值点一般是不唯一的，所以有时端点也可以是取到中值，最简单的例子是f（x）为常数函数，所有点都取中值。
积分的数学定义
由波恩哈德·黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分。