1、证：设点（x0,y0）到点（rx0,ry0）的距离为La,点（x,y）到点（rx0,ry0）的距离为Lb 则由图1可得：
2、(x0-rx0)/La=cos（a+b） -①(x-rx0)/Lb=cos（b） 颍骈城茇-②La=Lb -③(y0-ry0)/La=sin（a+b）-④(y-ry0)/Lb=sin（b） -⑤当艘早祓胂cos（b），cos（a+b）不为零时,由①②③得： (x0-rx0)/(x-rx0)=cos(a+b)/cos(b)(x0-rx0)/(x-rx0)=(cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b))/cos(b)(x0-rx0)/(x-rx0)=cos(a)-sin(a)tan(b)(x0-rx0)=(cos(a)-sin(a)tan(b))(x-rx0)x0=(x-rx0)cos(a)-sin(a)tan(b)(x-rx0)+rx0x0=(x-rx0)cos(a)-(y-ry0)sin(a)+rx0-A当sin（b），sin（a+b）不为零时,由③④⑤得：(y0-ry0)/(y-ry0)=sin(a+b)/sin(b)(y0-ry0)/(y-ry0)=(sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b))/sin(b)(y0-ry0)/(y-ry0)=sin(a)cos(b)/sin(b)+cos(a)y0=(y-ry0)sin(a)cos(b)/sin(b)+(y-ry0)cos(a)+ry0y0=(y-ry0)sin(a)(x-rx0)/(y-ry0)+(y-ry0)cos(a)+ry0y0=(x-rx0)sin(a)+(y-ry0)cos(a)+ry0-B∴当cos（b），cos（a+b）不为零时A、B式成立
3、当cos（a+b）=0时，即x0=rx0，a+b=π/2+kπ(k>=0的自然数)如图2：
4、∵cos（a+b）=0cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)=0tan(a)=1/tan(b)sin(a)/cos(a)=(x-rx0)/(y-ry0)(x-rx0)cos(a)=(y-ry0)sin(a)将x0=rx0式代入A式也得(x-rx0)cos(a)=(y-ry0)sin(a)∴当cos（a+b）=0时A式成立。
5、∵tan(a)=(x-rx0)/(y-ry0拘七呷憎) - ⑥ La=Lb=y0-ry0 - ⑦由⑥得 (y-ry0)sin(a)/cos(a)=(x-rx0)(y-ry0)sin²(a)/cos(a)=(x-rx0)sin(a)(y-ry0)(1-cos²(a))/cos(a)=(x-rx0)sin(a)(y-ry0)(1/cos(a)-cos(a))=(x-rx0)sin(a)(y-ry0)/cos(a)-(y-ry0)cos(a))=(x-rx0)sin(a)(y-ry0)/cos(a)=(x-rx0)sin(a)+(y-ry0)cos(a)) - ⑧由⑦得(y-ry0)/cos(a)=(x-rx0)/sin(a)=y0-ry0y0=(y-ry0)/cos(a)+ry0 - ⑨将⑧代入⑨得：y0=(x-rx0)sin(a)+(y-ry0)cos(a)+ry0∴当cos（a+b）=0时B式成立。
6、当sin(a)=0时，即a=π/2+kπ（k>=0的自然数）如图3所示：
7、∵sin(b)=(x0-rx0)/La=(y-ry0)/Lb cos(b)=(y0-ry0)/La=(x-rx0)/Lb即： x0-rx0=y-ry0 y0-ry0=x-rx0得： x0=y-ry0+rx0 y0=x-rx0+ry0把a=π/2+kπ代入A、B两式得： x0=y-ry0+rx0 y0=x-rx0+ry0∴当sin(a)=0时，A、B两式也成立
8、当cos（b）=0时，即x=rx0，b=π/2+kπ(k>=0的自然数)如图4：
9、∵La=Lb=y-ry0 - ⑴ sin（a）=(x0-rx0)/La - ⑵cos（a）=(y0-ry0)/La- ⑶由⑴⑵⑶得： x0=（y-ry0）sin（a）+rx0 y0=（y-ry0）cos（a）+ry0将b=π/2+kπ代入A、B两式也得 x0=（y-ry0）sin（a）+rx0 y0=（y-ry0）cos（a）+ry0∴当cos（b）=0时，符合A、B两式。
10、当sin(a+b)=0时，即y0=ry0，a+b=π+kπ(k>=0的自然数),如图5所示：
11、∵sin(a+b)=0∴sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b)=0 tan(a)+tan(b)=0sin(a)/cos(a)+(y-ry0)/(x-rx0)=0(x-rx0)sin(a)+(y-ry0)cos(a)=0将y0=ry0代入B式也得：(x-rx0)sin(a)+(y-ry0)cos(a)=0∴当sin（a+b）=0时A式成立。
12、∵tan(a)=tan(π-b)=-tan(水瑞侮瑜b)=-(y-ry0)/(x-rx0) - ⑷ La=Lb租涫疼迟=rx0-x0 - ⑸由 ⑷ 得：tan(a)=-(y-ry0)/(x-rx0)(x-rx0)sin(a)/cos(a)=-(y-ry0)(x-rx0)sin²(a)/cos(a)=-(y-ry0)sin(a)(x-rx0)(1-cos²(a))/cos(a)=-(y-ry0)sin(a)(x-rx0)/cos(a)-(x-rx0)cos(a)=-(y-ry0)sin(a)(x-rx0)/cos(a)=(x-rx0)cos(a)-(y-ry0)sin(a) - ⑹由 ⑸ 得：（y-ry0)/sin(b)=(x-rx0)/cos(b)=rx0-x0x0=rx0-(x-rx0)/cos(b)x0=rx0-(x-rx0)/cos(π-a)x0=rx0+(x-rx0)/cos(a) - ⑺把 ⑹ 代入 ⑺ 得：x0=(x-rx0)cos(a)-(y-ry0)sin(a)+rx0∴当sin（a+b）=0时B式成立。
13、综上所述，对图片上任意点(x,y)，绕一个坐标点(rx0,ry0)逆时针旋转a角度后的新的坐标设为(x0,y0)，有公式：x0=(x-rx0)*cos(a)-(y-ry0)*sin(a)+rx0;y0=(x-rx0)*sin(a)+(y-ry0)*cos(a)+ry0;