1、Selberg对素数定理的初等证明:只要学过微积分和一点初等数论，就可以读懂证明。只不过问题在于理解他的高超技巧。(虽然是初等方法，但是算清楚不容易。)
2、素数定理的复分析证明方法:通过这个证明你可以学习zeta函数的解析开拓，及其函数方程和简单的估计。你只需要懂复分析的留数和解析开拓就够了。然而这个证明不仅可以让你初步体会到复分析在数论里面的应用，还会在学习zeta函数的解析性质时了解Riemann猜想的叙述和部分结果。
3、Dirichlet定理(关于等差数列中素数分布的问题):这个证明蕴含了深刻的思想。首先Dirichlet借鉴了"Euler通过证明素数倒数级数和发散来证明素数的无穷性"，把zeta函数推广成Dirichlet-L函数，为了估计L函数，Dirichlet还用上了交换群上的Fourier分析。由此你可以初步看到Fourier分析在数论上的应用。(一些open problem的动机也来源于此，比如Erdos猜想）
4、四平方定理:这个定理研究“关于一个整数表示成4个整数平方和的方式的数量”。用复分析的工具研究theta函数的解析性质，然后你会发现十分神奇的事情:theta函数可以跟上述计数函数关联起来。所以这又是一个复分析在解析数论应用的实例。
5、Weyl等分布定理:一种叙述方式是对于一个无理数a。a,2a,3a,...na,...的小数部分在[0,1]上"均匀"分布。用动力系统的观点是把a看成是单位圆(同构于[0,1])的无理旋转，结果把这个定理转述成了遍历性定理。它可以当作学习动力系统工具的一个入门定理。