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二项分布/正态分布的矩估计(Mathematica)

时间:2024-11-12 06:45:50

1、二项分布符号是BinomialDistribution,两个参数n,p写法如图。分布只是符号定义的理想模型,运算过程是符号运算,不是实际样本。

二项分布/正态分布的矩估计(Mathematica)

2、使用Moment函数计算这个分布的1阶矩,2阶矩。并设A1,A2,构造两个方程,如图。

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3、使用Solve函数,联立这两个方程,求解出n和p。这里的每一步都是精确理想的符号运算。A1,A2是分布的矩。

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4、为了产生样本,我们使用RadomVariate,产生二项分布n=5,p=0.3的样本。但是稍后的矩估计计算,则假设我们不知道n和p是多少,然后回来比对运算结果,看估计是否有效。

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5、计算样本的一阶矩和二阶矩,使用同一个函数Moment。另外,注意Moment是原点矩不是中心矩。不论用哪种矩,算到最后都能用。

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6、然后,我们之前那个n和p关于A1,A2的表达式,把其中的A1和A2替换为我们样本得出的a1和a2(相当于A1和A2的估计值),来算出n和p的估计值。可见,估计有效。

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7、增大样本数量到10^8个,估计值更加接近真实值。即这个矩估计随着样本增多是收敛的。

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8、下面,正态分布同理,首先符号计算分布的矩。如图,计算的仍然都是中心距。然后Solve反解待估计量。注意取第二组解,σ为正数。

二项分布/正态分布的矩估计(Mathematica)
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9、将A1,A2替换为a1,a2解出估计值,和原来的值做比较,可见估计有效。增大样本数量,估计值收敛到真实值。

二项分布/正态分布的矩估计(Mathematica)
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10、另外,使用中心矩,还是原点矩,我们应该怎么方便耦嘀扔硇怎么来。通常一阶矩取原点矩(平均值),二阶矩取中心矩(分布中心矩与分布方差相等,样本中心矩与样本方差有比例系数n-1/n)比较方便。如图是取中心矩,确实简化了。

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11、计算样本矩的时候,也同样和分布的矩计算对应即可。最后替换并计算估计值。

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