证明：令{An}为收步捐碇休敛数列，则其必有极限，令{An}极限为M，故存在正整数N；
若{An}中至多含有有限个不同的点则从某项起{An}含有无限多个相同的点即{An}为常数列，否则{An}不满足柯西条件；
若{An}中含有无限多个各不相同的点则根据聚点定理{An}至少含有一个聚点，假设{An}含有两个聚点d1 d2且d1<d2，令e=d2-d1，所以在U(d1；e/3)U(d2；e/3)内都含有{An}中的无限多个点，这与存在N，当m n>N 时｜An-Am｜<H矛盾，故{An}只含有一个聚点；
令其为d1,所以当n m>N，｜An-Am｜<H/2（H为大于0的任意正数）时存在Ah属于U（d1；e/3）且｜Ah-d1｜<H/2，所以｜An-d1｜<｜An-Ah｜+｜Ah-d1｜<H/2+H/2=H，故{An}收敛于d1。
扩展资料：
数列的柯西收敛准则：数列收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当m>N，n > N时，且m≠n，有
我们把满足该条件的{xn}称为柯西序列，那么上述定理可表述成：数列{xn}收敛，当且仅当它是一个柯西序列。
该准则的几何意义表示，数列{xn}收敛的充分必要条件是：该数列中的元素随着序数的增加而愈发靠近，即足够靠后的任意两项都无限接近。
证明：必要性当m,n>N时，有：
参考资料：百度百科-聚点定理
参考资料：百度百科-柯西收敛准则