1、思路一：正比例替换
设y=kx,代入已知条件有：
x^2-(kx)^2=89x*kx，
(1-k^2)x^2=89kx^2，
1-k^2=89k，则：
k^2+89k-1=0,由求根根式有：
k=(-89±5√317)/2;
代数式=(x+kx)/(x-kx)=(1+k)/(1-k)
=(2±5√317)/89。
2、思路二：二次方程求根公式法
x^2-y^2=89xy,
y^2+89xy-x^2=0,将方程看成y的二次方程，
由求根公式有：
y=(-89±5√317)x/2,代入代数式有：
代数式
=[x+(-89±5√317)x/2]/[x-(-89±5√317)x/2]
=(2-89±5√317)/(2+89∓5√317)
=(2±5√317)/89。
3、思路三：结论换元法
设(x+y)/(x-y)=k,则：
y=(k-1)x/(k+1)，
又x^2-y^2=89xy,将y代入已知条件有：
x^2-(k-1)^2*x^2/(k+1)^2=89*x*(k-1)x/(k+1)
(k+1)^2-(k-1)^2=89(k^2-1),
89k^2-4k-89=0,
k=(2±5√317)/89。
4、思路四：中值替换
设x+y=2m,x-y=2n,则x=m+n,y=m-n,
(m+n)^2-(m-n)^2=89*(m+n)(m-n)
2mm+2mn=89(m^2-n^2)
89m^2-4mn-89n^2=0,由二次方程求根公式有，
m=(2±5√317)n/89。
则代数式=2m/2n
=m/n=(2±5√317)/89。
5、思路五：三角换元法
设x=cost,y=sint,则：
(cost)^2-(sint)^2=89*costsint,
2cos2t=89sin2t，即tan2t=2/89,
由万能公式有：
tan2t=2tant/(1-tan^2t)=2/89,即：
(tant)^2+89tant-1=0,
tant=(89±5√317)/2。
6、代数式
=(x+y)/(x-y)
=(cost+sint)/(cost-sint)
=(1+tant)/(1-tant)
=[1+(89±5√317)/2]/[1-(89±5√317)/2]
=(2+89±5√317)/(2-89∓5√317)
=(2±5√317)/89。