主要内容为归纳三角函数y=2sin(2x+2π/3)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
工具/原料
正弦函数性质
定积分与区域面积
三角函数的定义域值域基本性质
1、三角函数y=2sin(2x+2π/3)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
2、一般的，在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。
3、定义域：正弦三角函数y=2sin(2x+2π/3)的定义域为全体实数，即定义域为（-∞，+∞）。
4、值域：正弦函数y=sinx的值域为【-1,1】，对于本题，则正弦函数y=2sin(2x+2π/3)的值域为[-2,2]。
函数的对称轴单调等性质
1、对称轴：正弦函数y=2sin(2x+2π/3)在极值处有对称轴，即：2x+2π/5=kπ+π/2,k∈Z.2x=kπ+π/2-2π/5则对称轴为：x=(kπ/2)+π/20.
2、y=2sin(2x+2π/3)中心对称点：当2x+2π/5=0时，有：x=-1/5*π.即该函数y的中心对称点为：（-1/5*π，0）。
3、y=2sin(2x+2π/3)单调性及单调增区间：2氯短赤亻kπ-π/2≤2x+2π/5≤2kπ+π/2,k∈Z，2kπ-π/2幻腾寂埒-2π/5≤2x≤2kπ+π/2-2π/5,2kπ-9π/10≤2x≤2kπ+π/10kπ-9π/10≤x≤kπ+π/20即该函数的单调增区间为:[kπ-9π/10,kπ+π/20]
导数及其应用
1、函数y=2sin(2x+2π/3)的一阶、二阶及高阶导数计算步骤：
2、用导数求函数y=2sin(2x+2π/3)的切线应用举例：求图像上A((-7/60拘七呷憎)π，1)和B（(17/40)π，-(1)*√2）处的切线方程。解：y=2sin(2x+2π/5)，则：y'=4cos(2x+2π/5).(1)在点A((-7/60)π，1)处，有：y'=4cos[2*(-7/60)π+2π/5]=4cosπ/6=4√3/2,则该点处的切线方程为：y-1=4√3/2[x-(-7/60)π]。
3、(2)在点B（(17/40)π，-2√2/2）处，有：y'=4cos[2*(17/40)π+2π/5]=4cos5π/4=-4√2/2,则该点处的切线方程为：y+(1)*√2=-4√2/2[x-(17/40)π]。
4、(1)求图像半个周期内与x轴围成的面积。解：先求其中半个周期内x的坐标点，即：C(颍骈城茇-(1/5)π,0,),D((1/20)π,0).此时围成的区域面积为：S=∫[Cx，Dx]ydx=∫[C旌忭檀挢x，Dx]2sin(2x+2π/5)dx=(1)∫[Cx，Dx]sin(2x+2π/5)d(2x+2π/5)=-(1)cos(2x+2π/5)[-(1/5)π,(1/20)π]=1. 可见此时的面积为1个单位。
5、(2)求直线y=12x/π+(12/5)与正弦函数y围成区域的面积。解：y1=12垓矗梅吒x/π+(12/5)与y2=2sin(2x+2π/5)的交点分别为：E(-(1/10)π,0,),F((-7/60)π，1).此时围成的区域面积S为：S=∫[Ex，Fx](y2-y1)dx=∫[Ex，Fx][2sin(2x+2π/5)-12x/π-(12/5)]dx=(1)∫[Ex，Fx]sin(2x+2π/5)d(2x+2π/5)-[12x^2/2π+(12/5)x][Ex，Fx]=-(1)cos(2x+2π/5)[Ex，Fx]-1/24π=-(1)(cosπ/6-cos0)-1/24π=2(2-√3)/4-1/24π.
