1、【向量的减法】首先，我们知道，对于两个向量 u 和 v ，其和u + v 表示这两次向量的叠加。借用向量加法的规则，我们很容易理解向量的减法 u - v = u + (-v) 可以表示为三角形的第三边：
2、【向量长度的概念】如此一来，我们就訇咀喃谆将u、v 、和 u- v 构造成了三角形的三条边。显然根据余弦定理，我们可以列出一个关于u、v、和u- v 长度和夹角的方程。不过在此之前，菀蒯踔观我们可以先引入两个数学记号来表示两种运算。为了简单又清楚地表达向量长度的概念，我们引入一个新的记号||向量||：1.||u|| 表示 向量u 的长度，2. ||v|| 表示 向量v的长度，3. ||u - v|| 表示 向量 (u-v) 的长度显然，任意一个二维向量p，都可以表示成平面上的坐标(p₁,p₂)。而长度||p||等于从原点到p点(p₁,p₂)的长度。显然，根据勾股定理，有：||p||² = p₁² + p₂² = p₁*p₁ + p₂ * p₂
3、有了向量长度的记号，后续推导就清晰得多了。我们把u、箪滹埘麽v之间的夹角记作θ，则根据余弦定理，显然有：||u - v||² = ||u||² + |匀舶热圾|v||² - 2||u||*||v||* cosθ简单移项：||u||*||v||* cosθ = 1/2[||u||² +||v||² -||u - v||²] = 1/2[ u₁²+ u₂² + v₁² +v₂² - (u₁ -v₁)² - (u₂ -v₂)²] =u₁v₁+u₂v₂
4、这其实是一个一般公式，对任意u、v向量都适用。为了简化上面这个公式，我们不妨取两个单位向量来替代这里的一般性向量（所谓单位向量就是长度为1的向量），令：u= (cosα, sinα)v= (cosβ, sinβ)显然，这里的||u||、||v||都是1。然后带入上面的公式：cosθ=cosαcosβ + sinαsinβ这里的θ表示二者的夹角，故θ = α-β：cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ命题得证。