1、Miquel定理：给定完全四边形ABCDEF，如图，那么△A幞洼踉残BF、△ADE、△BCE、△CDF的外接圆共点，记为M。
2、特别的，当A与D重合的时候，C与B重合。
3、此时，△BEM的外接圆与线段BF切于B，同时△AEM的外接圆与线段AF切于A。
4、应用：如下图，AC且圆X于点C，BC的延长线与圆X交于D，△ABC的外接圆与圆X交于另一点M。那么会有什么结论呢？
5、答案是：△BDM的外接圆与AB切于点B。
6、更特别的，有Sawayama引理：D是△ABC边BC上的点，圆X与线段DC切于E、与线段AD切于F、与△ABC的外接圆切于K，KE的延长线与△ABC的外接圆交于H，AH与EF交于I，那么I是△ABC的内切圆圆心。证明的答题思路，涉及上面的Miquel定理的特殊情形：根据Miquel定理，可以确定△IEK的外接圆与AH切于I点，那么HI^2=HE*HK；另外，H是所在圆弧BC的中点，所以HB^2=HE*HK；HB=HI，所以I是△ABC的内切圆圆心。
