任何曲面与球面的交线，都是球面曲线。 前面，我们用ViewPoint实现了对3D曲面的多角度旋转观察——参考《用Mathematica旋转3D图形——ViewPoint用法》。文中提到，观察点的轨迹是一条曲线。 如果观察点的轨迹曲线是一条球面曲线，把3D图形置于球面球心位置，就可以获得稳定的动态图。 所以，我们渴望获得全方位的多角度观察，就要采用相应的多角度全方位的球面曲线。
工具/原料
电脑
Mathematica
维维亚尼曲线
1、 先画球面，这里以单位球面为例，可以有三种画法：ParametricPlot3D[{Sin[u] Cos[v], Sin[u] S足毂忍珩in[v], Cos[u]}, {u, 0,2 Pi}, {v, 0, Pi}]SphericalPlot3D[1, {x, 0, Pi}, {y, 0, 2 Pi}]ContourPlot3D[x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x, -1.1, 1.1}, {y, -1.1, 1.1}, {z, -1.1, 1.1}] 可以看到，三种方法画出的单位球面的网格线有明显的不同。
2、 绘制球面和柱面交在一起的情形，其中，柱面的直径长度是球的半径长度，柱面的一条母线过球心。 其中，为了方便计算，把球半径设为2。 球面的方程是：x^2 + y^2 + z^2 == 2^2, {x, -2.1, 2.1}, {y, -2.1, 2.1}, {z, -2.1, 2.1} 柱面的方程是：(x - 1)^2 + y^2 == 1, {x, -2.1, 2.1}, {y, -2.1, 2.1}, {z, -2.1, 2.1}
3、 再来绘制著名的Viviani Curve——音译为“维维亚尼”曲线。 在网上找到一个例子，照葫芦画瓢。 结果感觉很不满意！
4、 在Mathematica智囊团里面，群友告诉我，原因是图片精度不够的缘故，并提供了以下代码。结果很好！ 我在这里表示感谢！
5、 网友还给出一个更简洁的代码，用BoundaryStyle来画两个曲面的相交线，用Tube把相交线画成“管状”。
球面螺旋
1、 现在来绘制一个球面螺旋线，它的一个参数方程是：{Sin[Pi t] Cos[36 Pi t], Sin[Pi t] Sin[36 Pi t], Cos[Pi t]}； 当自变量的取值范围是0到2π的时候，出来的图形是双层的螺旋线：ParametricPlot3D[{Sin[Pi t] Cos[36 Pi t]，Sin[Pi t] Sin[36 Pi t]， Cos[Pi t]}, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Green, Thickness[0.005]}]
2、 怎么把第二层去掉呢？自然是缩小自变量的最大值。大体试验了一下，最大值应该小于（7.6π/24）：ParametricPlot3D[{Sin[Pi t] Cos[36 Pi t], Sin[Pi t] Sin[36 Pi t], Cos[Pi t]}, {t, 0, 7.6 Pi/24}, PlotStyle -> {Blue, Thickness[0.005]}]
3、 感觉太密集了是不是？那么，我们用一个互动代码：Manipulate[ParametricPlot3D[{Sin[Pi t] Cos[b Pi t], Sin[Pi t] Sin[b Pi t], Cos[Pi t]}, {t, 0, 2 Pi}, PlotStyle -> {Green, Thickness[0.01]}], {b, 1, 36, 1}] 其中，参数b决定着球面螺旋的圈数。
4、 我们可以发现，当b=1时，出来的曲线恰好就是维维亚尼曲线。所以，维维亚尼曲线也是一种球面螺旋。
5、 这里，再给出另一个球面螺旋的参数方程——这是无影东瓜给出的—：{Sqrt[1 - z^2] Cos[k z], Sqrt[1 - z^2] Si荏鱿胫协n[k z], z} 其中，k决定了螺旋线的圈数，而且，这个螺旋线是一层的！With[{k = 36},ParametricPlot3D[{Sqrt[1 - z^2] Cos[k z], Sqrt[1 - z^2] Sin[k z], z}, {z, -1, 1}, PlotStyle -> {Lighter@Blue, Thickness[0.01]}]]
一个特殊的例子
1、 先来一个特殊的、不知道名字的曲面——x^y + y^z + z^x == 2。 画图代码是：ContourPlot3D[x^y + y^z + z^x == 2, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1},ContourStyle --> {Opacity[0.8]}] 运行结果比较难看！
2、 所以，用单位球面把它的底部给包起来！Show[ContourPlot3D[ x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x, -1.1, 1.1}, {y荑樊综鲶, -1.1, 1.1}, {z, -1.1, 1.1}, ContourStyle -> {Green, Opacity[0.5]}],ContourPlot3D[x^y + y^z + z^x == 2, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, ContourStyle -> {Blue, Opacity[0.8]}]] 这里，给球面一个半透明效果！
3、 我们感兴趣的是，画出这两个曲面的交线。从网上找了很多方法，都磕聆霖麸无果！ 好在，Mathematica智囊团里面的“胡呵呵呵”榕舱筋灏给出了一个好的方法：Show[SliceContourPlot3D[x^y + y^z + z^x - 2, x^2 + y^2 + z^2 == 1, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, Contours -> 0, ContourStyle -> {Red, Thickness[0.01]}],ContourPlot3D[x^y + y^z + z^x == 2, {x, 0, 1}, {y, 0, 1}, {z, 0, 1}, ContourStyle -> {Green, Opacity[0.8]}]] 遗憾的是，没有能够求出交线的参数方程。因此，这条曲线不能用作ViewPoint——观察点的移动路径！
