介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+29b=9条件下的最大值。
工具/原料
函数最值有关知识
不等式和数学代换有关知识
1.问题提出
1、本文详细介绍通过代入法、三角换元法、判别式法、中值替换法、不等式法、几何数形法、构造函数等方法计算ab在a+29b=9条件下的最大值。
2、主要公式：1.(sina)^2+(cosa)^2=1。2.ab≤(a+b)^2/2。
2.直接代入法
1、根据已知条件，替换b，得到关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
3.二次函数判别式法
1、设ab=p，得到b=p/a,代入已知条件关于a的函数，并根据二次函数性质得ab的取值范围。
4.三角函数换元法
1、将ab表示成三角函数，进而得ab的最大值。
5.中值替换法
1、已知条件中，把a和b分别设成已在结果的一半加上参数t和减去参数t，代入所求表达式，再求解最大值。
6.不等式法
1、不等式有很多公式，本题中套用不等式公式为：ab≤(a+b)^2/2.
7.数形结合法
1、前者已知表达式在直角坐标系中是一条直线，所求ab的乘积中的a，b实际上就是这条直线上的点。
8.构造函数法
1、构造关于a，b的二元函数，根据给定条件下多元函数通过偏导数来求解函数的最大值。
2、设函数f(a,b)=ab-λ(a+29b-9),则偏导数f'a=b-λ,f'b=a-29λ,f'λ=a+29b-9。令f'a=f'b=f'λ=0，则：b=λ,a=29λ。进一步代入得：29λ+29λ=9,即λ=9/58.则有a=9/2,b=9/58.ab的最大值=9/2*9/58=81/116。