1、一阶偏导数：
dz/dx=10y²*3x²-y³+y=30x²y²-y³+y,
dz/dy=10x³*2y-x*3y²+x=20yx³-3xy²+x。
2、二阶偏导数：
∵dz/dx=30x²y²-y³+y,
∴d²z/dx²=30y²*2x-0+0=60xy²,
d²z/dxdy=30x²*2y-3y²+1=60yx²-3y²+1;
∵dz/dy=20yx³-3xy²+x，
∴d²z/dy²=20x³x*2y+0=20x³-6xy,
d²z/dydx=20y*3x²-3y²+1=60yx²-3y²+1。
3、三阶偏导数
∵d²z/dx²=60xy²，
∴d³z/dx³=60y²，
d³z/dx²dy=60x*2y=120xy①；
4、∵d²z/dxdy=60yx²-3y²+1，
∴d³z/dxdydx=d³z/dx²dy=60y*2x-0=120xy②,
d³z/dxdydy=60x²-3*2y=60x²-6y③；
5、∵d²z/dy²=20x³-6xy,
∴d³z/dy³=0-6x=-6x,
d³z/dy²dx=20*3x²-6y=60x²-6x④;
6、∵d²z/dydx=60yx²-3y²+1，
∴d³z/dydxdx=60y*2x-0=120xy⑤,
d³z/dydxdy=60x²-3*2y=60x²-6y⑥。
可见：①=②=⑤，③=④=⑥。
