主要内容为归纳三角函数y=2sin(2x+2π/5)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
工具/原料
定积分与区域面积
正弦函数性质
三角函数的定义域值域基本性质
1、三角函数y=2sin(2x+2π/5)的定义域、值域、单调、周期、对称轴、切线等有关性质。
函数的对称轴单调等性质
1、正弦函数在极值处有对称轴，即：2x+2π/7=kπ+π/2,k∈Z.2x=kπ+π/2-2π/7则对称轴为：x=(kπ/2)+3π/28.
2、例如求函数的单调减函数，主要步骤有：2kπ+π/2≤2x+2π/7≤2kπ+3π/2,k∈Z，2kπ+π/2-2π/7≤2x≤2kπ+3π/2+2π/7,2kπ+3π/14≤2x≤2kπ+25π/14kπ+3π/28≤x≤kπ+25π/28即该函数的单调增区间为:[kπ+3π/28,kπ+25π/28]
导数及其应用
1、求图像上A((-5/84)π，1)和B（(27/56)π，-√2）处的切线方程。解：y=2sin(2x+2π/7)，则：y'=4cos(2x+2π/7).(1)在点A((-5/84)π，1)处，有：y'=4cos[2*(-5/84)π+2π/7]=4cosπ/6=4√3/2,则该点处的切线方程为：y-1=4√3/2[x-(-5/84)π]。
2、(2)在点B（(27/56)π，-2√2/2）处，有：y'=4cos[2*(27/56)π+2π/7]=4cos5π/4=-4√2/2,则该点处的切线方程为：y+√2=-4√2/2[x-(27/56)π]。
3、围成区域面积，求图像半个周期内与x轴围成的面积。解：先求其中半个周期内x的坐标点，即：C(-(1/7)π,0,),D((3/28)π,0).此时围成的区域面积为：S=∫[Cx，Dx]ydx=∫[Cx，Dx]2sin(2x+2π/7)dx=∫[Cx，Dx]sin(2x+2π/7)d(2x+2π/7)=-cos(2x+2π/7)[-(1/7)π,(3/28)π]=-(cosπ/2-cos0)=1.
4、求直线y=12x/π+(12/7)与正弦函数y围成区域的面积。解：y1=12x/π+(12/7)与y2=2sin(2x+2π/7)的交点分别为：E(-(1/14)π,0,),F((-5/84)π，1).此时围成的区域面积S为：S=∫[Ex，Fx](y2-y1)dx=∫[Ex，Fx][2sin(2x+2π/7)-12x/π-(12/7)]dx=∫[Ex，Fx]sin(2x+2π/7)d(2x+2π/7)-[12x^2/2π+(12/7)x][Ex，Fx]=-cos(2x+2π/7)[Ex，Fx]-1/24π=-(cosπ/6-cos0)-1/24π=2(2-√3)/4-1/24π.
