1、给定三阶方阵A：A={{a,b,c},{d,e,f},{p,q,r}}
2、开始一步一步的进行行约简：先把第一行的第一个数字变成1，也就是用初等矩阵u来左乘A：u = {{1/a, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
3、让第二行第一个数字变成0：把第三行乘以-d/p，加到第二行上；这个过程对应的初等矩阵是：v=I+(-d/p)*e_(2,3)= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}魈胺闹臣} + {{0, 0, 0}, {0, 0, -d/p}, {0, 0, 0}};
4、再把第一行乘以-p，加到第三行上；对应的初等矩阵是：w=I+(-p)*e_(3,1) ={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} + {{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {-p, 0, 0}};
5、再把第三行第二个元素变成0：第二行乘以-(p (-b p + a q))/(a (e p - d q))，加到第三行上；对应的初等矩阵是——x=I+(-(p (-芟鲠阻缒b p + a q))/(a (e p - d q)))*e_(3,2) ={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}} +{{0, 0, 0}, {0, 0, 0}, {0, -(p (-b p + a q))/(a (e p - d q)), 0}};注意看，此时的x.(w.(v.(u.A)))是上三角矩阵。
6、把第三行的第三个元素变成1：也就是左乘矩阵初等矩阵y——y={{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, (a (e p - d q))/(p (-c e p + b f p + c d q - a f q - b d r + a e r))}}
7、把第二行第三个元素变成0：第三行乘以(-f+(d r)/p)，加到第二行上就可以了。
8、再把第二行的第二个元素变成1：左乘m，m = {{1, 0, 0}, {0, -(p/(-e p + d q)), 0}, {0, 0, 1}};
9、把第一行第二个元素变成0，就是用第二行乘以(-b/a)，加到第一行；把第一行第三个元素变成0，就是用第三行乘以(-c/a)，加到第一行。最后得到的o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.(u.A))))))))就是单位矩阵。
10、这样，o.(n.(m.(z.(y.(x.(w.(v.u)))))))就是A的逆矩阵。反过来，假设u的逆矩阵是u'，那么u'也是初等矩阵，所以，A可以写成：u'.v&#泌驾台佐39;.w'.x'.y'.z'.m'.n'.o'而初等矩阵的逆矩阵是很容易求出的。
