圆心到正n边形所有顶点的连线都是半径,长度为R.
这些连线将正n边形分成了n个全等的等腰三角形.这样,每个三角形的顶角为2π/n,腰长为R,
设正多边形边长为x,过圆心做等腰三角形底边上的垂线,在分成的一个直角三角形里用三角函数：
sin((2π/n)/2)=(x/2)/R
x=2Rsin(π/n).
设边心距为y,y=Rcos(π/n)
每个等腰三角形的面积=边长×边心距/2
=Rcos(π/n)*2Rsin(π/n)/2
=R*Rsin(π/n)cos(π/n)
=R*Rsin(2π/n)/2
正多边形的面积
=R*Rsin(2π/n)/2 × n
=nR*Rsin(2π/n)/2
扩展资料
主要思想是用“相似三角形”来做。
内、外一条边，分别连接边的端点与圆心，得到一大一小两个等腰三角形，这两个三角形相似，证明略；边长a，b之比即为两等腰三角形底边上的高之比。大三角形的高为圆半径r。小三角形的高为r*cos（360°/2n）。（因为是正n边形）故b=a/cos(360°/2n).
周长L=2nr*sin（180/n）°，绝对不要写成180°/N，而是(180/n)°，粗心大意的人往往第一步就写成XX°/n，后面不用看了，一分拿不到，白算半天。
面积S=n/2*R^2*sin（180/n)°*cos(180/n)°。
sinA*cosA=1/2sin（2A），所以还可以化简，S=n/4*R^2*sin（360/n）°