1、函数y=3^3x^2+x+1的定义域，函数基本类型为指数函数，由函数特征知函数的自变量x可以取全体实数，即定义域为：（-∞，+∞）。
2、设由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数为y=f[g(x)].如果g(x)在[a，b]上是增函数，f(u)在[g(a)，g(b)]上是增（减）函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a，b]上增（减）函数。
3、对于u=3x^2+x+1为二次函数，单调性与开口和对称轴有关，其中开口向上，对称轴为x=-1/6,则：(1)当x∈(-∞，-1/6)时，函数为减函数；(2)当x∈(-1/6,+∞)时，函数为增函数。
4、函数的极值：此处介绍用函数的珑廛躬儆导数知识求解，步骤为：∵y=3^(3x^2+x+1）,∴dy/dx=3^(3x^2+x+1)*ln3*(6x+1),令dy/d旌忭檀挢x=0,则：6x+1=0,即x=-1/6.(1)当x∈(-∞，1/6)时，dy/dx<0,函数为减函数；(2)当x∈(-1/6,+∞)时，dy/dx>0,函数为增函数。则当x=-1/6时，函数有最小值，即：ymin=3^[3*(-1/6)^2-1/6+1]=3^(11/12).可知函数的值域为：[3^(11/12),+∞)
5、函数y=3^3x^2+x+1的凸凹性，通过函数的二阶导数，解析函数的凸凹性。
6、dy/dx屏顿幂垂=3^(3x^2+x+1)*ln3*(6x+1)d^2y/dx^2=ln3*[3^(3x^2+x+1)(6x+1)炷翁壳唏^2*ln3+3^(3x^2+x+1)*6]=ln3*3^(3x^2+x+1)[(6x+1)^2*ln3+6]∵(6x+1)^2>0,∴(6x+1)^2*ln3+6>0,即d^2y/dx^2>0，则函数的图像为凹函数。
7、※举例求点B(-1/6, 3^(11/12))处的切线和法线方程。在点B(-1/6,3^猾诮沓靥(11/12))处，有:dy/dx=ln3*0=0,即为切线的斜率，则切线方程为：y=3^烫喇霰嘴(11/12),此时法线的斜率不存在，则法线方程为：x=-1/6.
8、函数y=3^3x^2+x+1的极限，判断函数在无穷大处的极限。
9、该函数上不分点的列表，形成如下五点图，列表如下：
10、函数的示意图，综合以上函数的单调性、凸凹性、极限等性质，函数y=3^3x^2+x+1的示意图如下：
