1、函数的定义域，结合分式函数的性质，分析求解函数的定义域。自变量在分母，根据函数特征，自变量x可以取全体实数，即函数的定义域为：（-∞，+∞）。
2、函数的单调性，通过函数的一阶珑廛躬儆导数，求出函数的单调区间。对x求导得：y=4/(x^2+5)，dy/dx=-4*2x/(x^2+5)^2=-8x/(x^2+5像粜杵泳)^2,令dy/dx=0,则x=0，则：（1）当x≥0时，dy/dx≤0，则此时函数y为减函数，（2）当x＜0时，dy/dx＞0，则此时函数y为增函数。
3、函数极值与极限，函数的最大值和无穷端点处的极限。lim(x→-∞) 4/(x^2+5)=0;lim(x→0) 4/(x^2+5)=4/5;lim(x→-∞) 4/(x^2+5)=0。
4、函数的凸凹性，通过函数的二阶珑廛躬儆导数，解析函数的凸凹区间。dy/dx=-8x/(x^2+5)^2,d^2y/dx^2=-8[(1x^2+5)^2-x*2(1x炷翁壳唏^2+5)*2ax]/(x^2+5)^4,d^2y/dx^2=-8[(1x^2+5)-4x^2]/(x^2+5)^3,d^2y/dx^2=8(3x^2-5)/(x^2+5)^3,令d^2y/dx^2=0，则3x^2-5=0，即x^2=5/3,
5、求出x1=-(1/3)√15，x2=(1/3)√15。（1）当x∈(-∞，-(1/3)√15),( 烫喇霰嘴(1/3)√15，+∞)时，d^2y/dx^2＞0，则此时函数y为凹函数，（2）当∈[-(1/3)√15,(1/3)√15]时，dy/dx≤0，则此时函数y为增函数。
6、根据奇偶性判断原则，判断二次函数与分数函数复合y=4/(x^2+5)为偶函数。
7、一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x),那么函数f(x)就叫做偶函数，偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数。
8、该偶数分式函数部分点解析表如下：因为f(x)=4/(x^2+5),所以f(-x)=4/[1(-x)^2+5]=4/(x^2+5)=f(x),即函数为偶函数，函数图像关于y轴对称。
9、函数的示意图，综合以上函数定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性和极限的性质，二次函数与分数函数复合y=4/(x^2+5)的示意图如下：
