1、根据函数特征，自变量x可以取任意实数，即可得到函数y=x^3+6x^2+x的定义域。
2、 定义域是指该函数的有效范围，函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 形如y=f(x)，则x是自变量，它代表着函数图像上每一点的横坐番舸榆毛标，自变量的取值范围就是函数的定义域。f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。
3、计算求出函数的一阶导数，结合函数的定义域求出函数驻点，由一阶导数的正负，判断函数的单调性，并计算出函数y=x^3+6x^2+x的单调区间。
4、通过函数y=x^3+6x^2+x的二阶导数，求解函数的吭龄承盗凸凹区间。如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
5、 二阶导数，是原函数导数的导数，将原函数进行二次求导。一般的，函墙绅褡孛数y=f(x)的导数y'租涫疼迟=f'(x)仍然是x的函数，则y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数。 如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0。
6、解析函数y=x^3+6x^2+x的端点处的极限。
7、函数上的部分点，函数y=x^3+6x^2+x五点图表如下：
8、综合以上函数的定义域、单调性、凸凹性及极限性质，函数y=x^3+6x^2+x的图像示意图如下：
